\(\overline{BC} = 4\)인 삼각형 \(ABC\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(\overline{AB}\), \(\overline{AC}\)와 \(\sin B\)의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.
(가) \(3 \sin A = 2 \sin C\)
(나) \(\sin A + 2 \sin C = 2 \sin B\)

공차가 \(4\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 두 자연수 \(k, m\)이 존재할 때, \(a_1, k, m\)의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

(가) \(a_k = 0\)
(나) \(a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_m = 84\)
(다) \(|a_1| + |a_2| + |a_3| + \cdots + |a_m| = 204\)

2 이상의 자연수 \(m\)에 대하여 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(f'(x) = \sum_{k=2}^{m} k(k-1)x^{k-2}\)
(나) \(f'(1) = 240\)
(다) \(f(0) = 1\)
곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((-1, f(-1))\)에서의 접선의 기울기와 접선의 \(y\)절편을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

수직선 위를 움직이는 두 점 \(P, Q\)의 시각 \(t (t \geq 0)\)에서의 속도가 각각
\(v_1(t) = 3t^2 + 4t + 10\),
\(v_2(t) = 18t - 5\) 이고, 시각 \(t=0\)일 때 점 \(P\)의 위치를 \(p\), 점 \(Q\)의 위치를 \(q\)라 하면 \(p \lt q\)이다. 두 점 \(P, Q\)는 출발한 후 시각 \(t=a\)일 때와 시각 \(t=b\)일 때만 만난다. 시각 \(t=a\)와 \(t=b\)에서 점 \(P\)의 가속도를 각각 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(1 \lt a \lt b\)이다.)

두 함수 \(f(x)\), \(g(x)\)가
\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2+2x} = \lim_{x \to 0} \left\{ \frac{g(x)+x}{g(x)-x} - 1 \right\} = 1\)
을 만족시킬 때, \(\lim_{x \to 0} \frac{4f(x)g(x)}{2\{f(x)\}^2 + 3f(x)g(x) - 2\{g(x)\}^2}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

실수 \(a\) 에 대하여 곡선 \(y = a \times 3^{x-3} + 2a\) 가 점 \((5, 22)\) 를 지난다. 이 곡선의 점근선이 \(y\) 축 및 곡선 \(y = 2^{-x} - 1\) 과 만나는 점을 각각 \(A, B\) 라 할 때, 삼각형 \(AOB\) 의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(O\) 는 원점이다.)

1이 아닌 두 양수 \(a, b\) (\(a \neq b\))가 \(\log_a b - \log_b a = 0\)을 만족시킬 때, \(9a + 25b\)의 최솟값을 \(m\)이라 하고, 이때의 \(a\)의 값을 \(\alpha\)라 하자. \(m\)과 \(\alpha\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

첫째항이 \(2\)이고 공차가 \(3\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때, \(13S_n \gt \sum_{k=1}^{6} (a_k)^3\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.

양의 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(y = t - |2x|\)의 그래프와 함수 \(y = x^2\)의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S(t)\)라 할 때, \(\lim_{t\to \infty} \frac{\sqrt{t}S(t)}{t^2}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

실수 \(t\)에 대하여 직선 \(y = t\)가 곡선 \(y = |x^2 - 2x| + x\)와 만나는 점의 개수를 \(f(t)\)라 하자. 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(g(t)\)에 대하여 함수 \(f(t)g(t)\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, \(f(1) + g(1)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

최고차항의 계수가 \(-\frac{1}{2}\)이고 \(x = 8\)에서 최댓값을 갖는 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를
\(g(x) = \begin{cases} f(x) & (x \le a) \\ |f(x+1) - f(x) - \frac{7}{2}| & (x \gt a) \end{cases}\)
라 하자. 함수 \(g(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, \(f(a)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

함수 \(f(x) = 2\sin^2\left(\frac{3}{2}\pi - x\right) - 2\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + 5\)의 최댓값이 \(\alpha\)이고 최솟값이 \(\beta\)일 때, \(\alpha\beta\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

\(x\)에 대한 부등식 \[x^2 - x \log_3 \left( \sqrt[3]{9}n \right) + \log_3 \sqrt[3]{n^2} \lt 0\] 을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 모든 자연수 \(n\)의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오.

공차가 \(0\)이 아닌 등차수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_2 - 1 = 1 - a_4\) 이고 \(|a_4 + 5| = |-5 - a_6|\) 일 때, \(a_7\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다음 조건을 만족시키는 모든 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f\left(\frac{1}{2}\right)\)의 최댓값을 구하는 과정을 서술하시오.
(가) 함수 \(f(x)\)의 모든 항의 계수가 정수이고, \(f(0) = 0\)이다.
(나) \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - 2x^3}{x^2} = \lim_{x \to \frac{1}{2}} f(x)\) (다) \(f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 증가한다.

자연수 \(a\)에 대하여 함수 \[f(x) = \frac{1}{3}\log_2(x-2)\]의 그래프의 점근선과 함수 \(g(x) = \tan\left(\frac{\pi x}{a}\right)\)의 그래프는 만나지 않는다. 정의역이 \(\left\{x \,\middle|\, \frac{17}{8} \le x \le 6\right\}\) 일 때, 모든 자연수 \(a\)의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오.

다음 조건을 만족시키는 최고차항의 계수가 \(1\)인 모든 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 \[\int_{-1}^{3} f(x)dx\] 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하는 과정을 서술하시오.
(가) \(|f(1)| + |f(-1)| = 0\)
(나) \(-1 \le \int_{0}^{1} f(x)dx \le 1\)

점 \((-2, a)\)에서 곡선 \(y = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\)에 그을 수 있는 접선의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 정수 \(a\)의 개수를 구하는 과정을 서술하시오.

공비가 \(1\)이 아닌 등비수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라고 하자. \(S_3 = 6\), \(S_6 = 18\)일 때, \(\log_2 \left( 1 + \dfrac{S_{15}}{6} \right)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

두 양수 \(a, b\)에 대하여 \(\log_3 ab = 6\), \(\log_3 a = 4\log_b 3\)일 때, \(\log_a b + \log_b a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(f(x) = x^2 - 4x + 4\)의 그래프 위의 점 \((a, f(a))\)에서의 접선이 \(x\)축 및 \(y\)축과 만나는 점을 각각 \(P, Q\)라 할 때, 삼각형 \(OPQ\)의 넓이가 최대가 될 때의 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(O\)는 원점이고, \(0 \lt a \lt 2\)이다.)

사각형 \(ABCD\)가 반지름이 \(2\)인 원에 내접하며 \(\overline{AB} = 4\), \(\overline{BC} = \overline{CD} = 1\)일 때, 사각형 \(ABCD\)의 넓이의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(y=f(x)\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(5\)만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수를 \(y=g(x)\)라 하자.
\[\lim_{x \to -1} \dfrac{f(x)}{(x+1)g(x)} = -\dfrac{1}{5}, \quad \lim_{x \to 4} \dfrac{f(x)}{(x+1)g(x)} = k\]일 때, 상수 \(k\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(f(x) = -x^2 + 6x - 9\)에 대하여, 곡선 위의 점 \((a, f(a))\) \((0 \lt a \lt 3)\)에서의 접선을 \(\ell\)이라 하자. 곡선 \(y=f(x)\)와 접선 \(\ell\), \(x\)축 및 \(y\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.

정의역이 \(\{x | x \ge 0\}\)인 함수 \(f(x) = ax^2\) \((0 \lt a \lt 1)\)의 역함수를 \(g(x)\)라 하자. 두 곡선 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\)로 둘러싸인 부분의 넓이가 \(S = \frac{3}{4}\)일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.

두 곡선 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\)의 교점의 \(x\)좌표는 \(x=0\)과 \(x=\) [ ① ] 이다.

따라서 넓이를 정적분으로 나타내면 \(S=\) [ ② ] 이고, 이 적분의 값을 \(a\)에 대한 식으로 쓰면 \(S=\) [ ③ ] 이다. \(S = \frac{3}{4}\)이므로 상수 \(a=\) [ ④ ] 이다.

1이 아닌 서로 다른 두 양수 \(a, b\)에 대하여 두 집합 \(A, B\)를 \[A = \{ 1, \log_a b \}, \quad B = \left\{ \frac{3}{2}, 2, 3\log_2 a - 2\log_2 b \right\}\] 라 하자. \(A \subset B\) 일 때, \(ab^2\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

\(x\)에 대한 이차방정식 \(kx^2 - (k+2)x + (k+1) = 0\)의 두 근이 \(\sin\theta\)와 \(\cos\theta\)일 때, \(\theta\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(k\)는 상수이고 \(0 \le \theta \le \pi\))

수열 \(\{a_n\}\)은 \(a_1 \gt 0\), \(a_4 + a_5 = 0\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+2} = a_{n+1} - a_n\)을 만족시킨다. 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때, \(S_n \lt 0\)을 만족시키는 \(300\) 이하의 자연수 \(n\)의 개수를 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \[f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+1}-a}{x-1} & (x \gt 1) \\ \frac{x+b}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} & (x \le 1) \end{cases}\] 가 \(x=1\)에서 연속일 때, 상수 \(a\)와 \(b\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

수직선 위를 움직이는 두 점 \(P, Q\)의 시각 \(t\) (\(t \ge 0\))에서의 위치 \(x_1, x_2\)가 \[x_1 = 3t^3 - 3t^2 + 7t, \quad x_2 = 2t^3 + 3t^2 - 2t\] 이다. 두 점 \(P, Q\)가 동시에 원점을 출발한 후 처음으로 속도가 같아지는 순간 \(t_a\)와 처음으로 만나는 순간 \(t_b\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.